3.1. Krótki i prosty dowód twierdzenia Fermata
            (The Last Fermat's Theorem)

Twierdzenie
Dla liczby naturalnej N większej od  2 nie istnieją liczby naturalne  a, b, c   większe od zera spełniające równanie    c^N = b^N + a^N.

Dowód
Dla równania

w celu wyeliminowania rozwiązań wtórnych przyjmujemy dodatkowo, że N jest liczbą pierwszą >2 oraz  a, b, c  są liczbami naturalnymi, względnie pierwszymi.

Dla nieparzystych N  istnieje zależność:

z której wynika, że  c^N musi być podzielne przez  a+b.

Wprowadzając dwie zmienne całkowite:  s=a+b  oraz   x=s−c otrzymujemy:

słuszne dla każdego naturalnego  N > 0 i zapewniające wymaganą w (3.2) podzielność  c^N   przez s.

Wyrażenie w nawiasach kwadratowych w (3.3) ma być liczbą całkowitą,
ale to byłoby możliwe gdyby  s oraz  x miały wspólny dzielnik w,
co możemy zapisać  s=w‧ v oraz   x=w‧ u,  gdzie v, u  są liczbami naturalnymi.

Wstawiając te zależnosci do (3.3) zauważamy, że po lewej stronie znaku równości w  (3.3) pojawił się mnożnik w^N, który należy wyodrębnić po prawej stronie znaku równości i wtedy otrzymujemy

Widzimy, że istnienie wspólnego dzielnika  s  oraz  x   nie zapewnia, że wyrażenie w nawiasach kwadratowych w (3.3) będzie liczbą całkowitą, bo jeżeli w będzie największym wspólnym dzielnikiem to  v  oraz  u   już będą względnie pierwszymi
i wyrażenie w nawiasach kwadratowych, po wyłaczeniu przed nawias w^N-1,
nie będzie liczbą całkowitą.
Poszukując uparcie dalszych wspólnych dzielników  v  oraz  u   dojdziemy do wniosku,
że tym dzielnikiem musiałoby być  x , a równanie (3.3) przybrałoby postać:

gdzie już wyraźnie widać, że wyrażenie w nawiasach kwadratowych nie może być liczbą całkowitą.

Zatem, nie istnieją naturalne, różne od zera  s oraz  x spelniające (3.3).

W powiązaniu z faktem, że twierdzenie jest prawdziwe dla N= 4
(co jest wiadome od czasów Fermata, a dowód jest na przyklad w "Teorii liczb" Sierpinskiego (Monografie Matematyczne PAN, Tom 19), twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb calkowitych N > 2.

(koniec dowodu)