HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

2.2.3. Rozwiązanie dla równania niejednorodnego Niejednorodnym odpowiednikiem równania (2.3) w jednym kierunku jest
$\frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial τ^{2}} = f (x, τ)$ .	(2.32)
W podręcznikach ([L2]–Marcinkowska, [L3]–Krzyżański) znajdujemy rozwiązanie tego równania, które przy przyjętych przez nas oznaczeniach ma postać
$F (x, τ) = g_{1} (x, τ) + g_{2} (x, τ)$ ,	(2.33)
gdzie $g_{1} (x, τ)$ i $g_{2} (x, τ)$ są rozwiązaniami pochodzącymi od warunków początkowych (2.16-2.28) i wymuszenia.
$g_{1} (x, τ) = \frac{1}{2} \cdot [F (x - τ, 0) + F (x + τ, 0)] + \frac{1}{2} \cdot \int_{x - τ}^{x + τ} \frac{\partial F (x, 0)}{\partial τ} dx$	(2.34)
$g_{2} (x, τ) = - \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{τ} (\int_{x - (τ - q)}^{x + (τ - q)} f (r, p) dr) dq$	(2.35)
Mimo że jest to poprawne rozwiązanie, to nie możemy go wykorzystać dla rozwiązania równań Maxwella głównie z powodu przyjętych w tych podręcznikach założeń potrzebnych do przeprowadzenia dowodu jego poprawności i stanowiących istotne ograniczenia w jego zastosowaniu. Elementem decydującym o nieprzydatności jest przyjęcie, że wymuszenie $f (x, τ)$ pojawia się w chwili $τ = 0$ i dopiero od tego momentu jest określone rozwiązanie. Przyjęcie takich założeń jest zasadne przy analizie równania na przykład wspomnianej już struny, ale przy równaniach Maxwella interesuje nas rozwiązanie przy wymuszeniu poprzedzającym bez ograniczeń czasu dla analizowanego punktu. W podręczniku [L2]–Marcinkowska (strona 96) jest dodatkowy wymóg ograniczonego i zamkniętego obszaru, co dodatkowo ogranicza możliwość powoływania się na to rozwiązanie. Należy zauważyć, że przy równaniach Maxwella nieistotne staje się w pewnym zakresie rozwiązanie pochodzące od warunków początkowych ponieważ to co jest warunkami początkowymi w rozwiązaniu równań Maxwella jest falą pochodzącą od wymuszenia w innym punkcie przestrzeni i tym samym już będącą elementem rozwiązania. Z powodu wymienionych ograniczeń koniecznym było opracowanie własnego, wolnego od ograniczeń rozwiązania. Przedstawione rozwiązanie jest łatwe do zrozumienia, bo oparte na elementarnej wiedzy o równaniach różniczkowych bez odwoływania się do twierdzeń wymagających dodatkowej wiedzy. Po zamianie zmiennych w równaniu (2.32) mamy
$4 \cdot \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v} = f (x, τ) = f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$	(2.36)
i otrzymujemy formalne rozwiązanie
$Fo (u_{0}, v_{0}) = \frac{1}{4} \cdot \iint_{(u_{C}, v_{C})}^{(u_{0,} v_{0})} f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2}) du dv + Fo (u_{C}, v_{C})$	(2.37)
ale wyprowadzenie z niego praktycznych wzorów nie jest łatwe i dlatego wykorzystamy łatwiejszą drogę. Rysunek (Rys.2) wyjaśnia znaczenie zmiennych i wykonywanych operacji.

x = x₀

τ = τ₀

τ = τ_C

O(u₀,v₀)= O(x₀, τ₀)

A(u_A,v₀)

C(x₀,τ_c)

B(u₀,v_B)

v_C

v_B

u_C

u_A

Rys.2
Na tym rysunku – $u, v, x, τ$ oznaczają odpowiednie osie współrzędnych, – $Fo (u_{0}, v_{0})$ jest wartością funkcji w punkcie $(u_{0}, v_{0})$ , czyli $(x_{0}, τ_{0})$ oznaczonym na rysunku $O (x_{0}, τ_{0}) = O (u_{0}, v_{0})$ , – $Fo (u_{c} = x_{0} + τ_{c}, v_{c} = x_{0} - τ_{c})$ jest wartością w punkcie $(x_{0}, τ_{c})$ oznaczonym na rysunku $C (x_{0}, τ_{c})$ , którą możemy uważać za wartość początkową funkcji $F ()$ . – Kolorem czerwonym zaznaczono falę biegnącą w kierunku rosnących wartości $x$ i odpowiednio kolorem niebieskim falę falę biegnącą w kierunku malejących wartosci $x$ . Całka $\frac{1}{4} \cdot \iint_{(u_{C}, v_{C})}^{(u_{0,} v_{0})} f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2}) du dv$ przedstawia zmianę wartości funkcji $F (x, τ)$ przy przejściu z punktu $C (x_{0}, τ_{c})$ do punktu $O (x_{0}, τ_{0})$ , czyli zmianę wartości funkcji $F (x, τ)$ w punkcie $x_{0}$ w czasie od $τ_{c}$ do $τ_{0}$ , przy czym $τ_{c} ⋜ τ_{0}$ . Dla naszego rozwiązania wykorzystamy dla przejścia z punktu $C$ do punktu $O$ na rysunku (Rys.2) zależność
$Fo (u_{0}, v_{0}) = F (x_{0,} τ_{0}) = F (x_{0,} τ_{C}) + \int_{τ_{C}}^{τ_{0}} \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial τ} d τ$	(2.38)
Ponieważ będziemy wykorzystywać różne i częste zamiany funkcji oraz zmiennych, to aby czytelnik nie tracił czasu na weryfikację tych zmian przypomnimy podstawowe zależności:
$u = x + τ$ , $v = x - τ$ ,	(2.39)
$x = \frac{u + v}{2}$ , $τ = \frac{u - v}{2}$ ,	(2.40)
$u -v=2\cdotτ$ , $u +v=2\cdotx$ ,	(2.41)
$F (x, τ) = Fo (u, v)$ ,	(2.42)
$F (x, τ) = F (v + τ, τ) = F (u - τ, τ) = F (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$ ,	(2.43)
$Fo (u, v) = Fo (x + τ, x - τ)$ ,	(2.44a)
$Fo (u, v) = Fo (u, 2 x - u) = Fo (2 x - v, v)$ ,	(2.44b)
$Fo (u, v) = Fo (u, u - 2 τ) = Fo (v + 2 τ, v)$ .	(2.44c)
Konsekwencją tych zależności są następne:
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial τ} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial τ}$ ,	(2.45)
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial x} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial x}$ .	(2.46)
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial u} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u}$ ,	(2.47)
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial v} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ ,	(2.48)
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial x} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} + \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ ,	(2.49)
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial τ} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial τ} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} - \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ ,	(2.50)
$\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} = \frac{1}{2} \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial x} + \frac{1}{2} \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial τ}$ ,	(2.51)
$\frac{\partial Fo (x, τ)}{\partial v} = \frac{1}{2} \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial x} - \frac{1}{2} \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial τ}$ ,	(2.52)
$\frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v} = \frac{1}{4} f (x, τ) = \frac{1}{4} f (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$ ,	(2.53)
$\frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v} = \frac{1}{4} f (v + τ, τ) = \frac{1}{4} f (u - τ, τ)$ ,	(2.54)
Zależność (2.50) możemy wykorzystać w (2.38) i wtedy otrzymujemy
$Fo (u_{0}, v_{0}) - F (x_{0,} τ_{C}) = \int_{τ_{C}}^{τ_{0}} (\frac{\partial Fo (u, v_{0})}{\partial u} - \frac{\partial Fo (u_{0}, v)}{\partial v}) d τ$ .	(2.55)
Składniki po prawej stronie znaku równości we wzorze (2.55) możemy łatwo przy stałym $τ$ określić względem wybranego punktu $x_{0}$ na osi $x$ z zależności
$\frac{\partial Fo (u, v_{0})}{\partial u} - \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial u} = \int_{v (x_{0}, τ)}^{v_{0}} \frac{\partial}{\partial v} (\frac{\partial F (v + τ, τ)}{\partial u}) dv$ ,	(2.56)
$\frac{\partial Fo (u_{0}, v)}{\partial v} - \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial v} = \int_{u (x_{0}, τ)}^{u_{0}} \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial F (u - τ, τ)}{\partial v}) du$ ,	(2.57)
co po skorzystaniu z (2.54) daje
$\frac{\partial Fo (u, v_{0})}{\partial u} - \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial u} = \frac{1}{4} \int_{v (x_{0}, τ)}^{v_{0}} f (v + τ, τ) dv = \frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{x_{0} + (τ - τ_{0})} f (x, τ) dx$ ,	(2.58)
$\frac{\partial Fo (u_{0}, v)}{\partial v} - \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial v} = \frac{1}{4} \int_{u (x_{0}, τ)}^{u_{0}} f (u - τ, τ) du = \frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{x_{0} - (τ - τ_{0})} f (x, τ) dx$ .	(2.59)
Na podstawie (2.40) mamy
$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2}$	(2.60)
czyli
$\frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial u} = \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{1}{2} \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x}$ ,	(2.61)
$\frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial v} = \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} = \frac{1}{2} \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x}$	(2.62)
i w konsekwencji
$\frac{\partial Fo (u_{0}, v)}{\partial v} = \frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{x_{0} - (τ - τ_{0})} f (x, τ) dx + \frac{1}{2} \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x}$ ,	(2.63)
$\frac{\partial Fo (u, v_{0})}{\partial u} = \frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{x_{0} + (τ - τ_{0})} f (x, τ) dx + \frac{1}{2} \frac{\partial F (x_{0}, τ)}{\partial x}$ .	(2.64)
Wstawiając te wielkości do (2.55) otrzymujemy ostatecznie
$Fo (u_{0}, v_{0}) = F (x_{0,} τ_{C}) - \frac{1}{2} \int_{τ_{C}}^{τ_{0}} (\int_{x_{0} + (τ - τ_{0})}^{x_{0} - (τ - τ_{0})} f (x, τ) dx) d τ$	(2.65)
i jest to odpowiednik wzoru (2.35) otrzymany tym razem bez żadnych założeń ograniczających czas $τ_{c}$ , który możemy tym razem wydłużać nawet do $-∞$ . Stała $F (x_{0}, τ)$ jest wynikiem całki funkcji $f (x, τ_{c})$ dla czasu przed $τ_{c}$ . Przy wyprowadzaniu wzoru (2.35) zakładano, że funkcja $f (x, τ_{c}) = 0$ dla $τ < τ_{c}$ i wtedy całka z tej funkcji, czyli nasza wartość $F (x_{0,} τ_{c})$ , jest też równa zero. W rozwiązaniu równań Maxwella nie występuje potrzeba uwzględniania rozwiązań pochodzących od warunków początkowych $F (x, τ_{c})$ oraz $\partial F (x, τ_{c}) / \partial τ$ , które można dodać dla innych przypadków niż równania Maxwella, ustalając zależność tych warunków od źródeł $f (x, τ)$ . Zmienną $τ_{0}$ wprowadzono dla zademonstrowania identyczności wzorów (2.35) i (2.65), ale ponieważ oznacza ona w naszym przypadku czas aktualny, to przyjmując $τ_{0} = 0$ możemy, nie tracąc ogólności, uczynić krótsze i bardziej przejrzyste wzory. Wzór (2.65) w tej sytuacji wygląda następująco
$Fo (u_{0}, v_{0}) = F (x_{0,} τ_{C}) - \frac{1}{2} \int_{τ_{C}}^{0} (\int_{x_{0} + τ}^{x_{0} - τ} f (x, τ) dx) d τ$	(2.66)
gdzie jeszcze możemy pozbyć się stałej $F (x_{0,} τ_{c})$ , wydłużając czas $τ_{c}$ do minus nieskończoności i mamy wtedy
$Fo (u_{0}, v_{0}) = - \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{0} (\int_{x_{0} + τ}^{x_{0} - τ} f (x, τ) dx) d τ$	(2.67)
$Fo (u_{0}, v_{0}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{- \infty} (- \int_{x_{0}}^{x_{0} + τ} f (x, τ) dx + \int_{x_{0}}^{x_{0} - τ} f (x, τ) dx) d τ$	(2.68)
Stałe całkowania (2.61) i (2.62) we wzorach (2.63) i (2.64) są jednakowe i we wzorze (2.65) występują z przeciwnymi znakami, co powoduje, że znoszą się wzajemnie. Wartości $\partial Fo (u, v_{0}) / \partial u$ oraz $\partial Fo (u_{0,} v) / \partial v$ na rysunku (Rys.2) odpowiadają wartościom tych pochodnych w punktach leżących na przecięciu linii odpowiadającej czasowi $τ$ oraz linii odpowiadających zmiennym $u_{0}$ oraz $v_{0}$ , które to zmienne oznaczają odpowiednio falę w stronę malejących wartości $x$ oraz falę w stronę rosnących wartości $x$ . Możemy te fale na wzór równania jednorodnego rozdzielić i nazwać je jak na rysunku (Rys.2) $Fu (u_{0}, v)$ i $Fv (u, v_{0})$ . Mamy zatem
$Fo (u_{0,} v_{0}) = Fu (u_{0}, v_{0}) + Fv (u_{0}, v_{0})$	(2.69)
$Fv (u_{0}, v_{0}) = - \frac{1}{2} \int_{0}^{- \infty} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + τ} f (x, τ) dx) d τ$	(2.70)
$Fu (u_{0}, v_{0}) = \frac{1}{2} \int_{0}^{- \infty} (\int_{x_{0}}^{x_{0} - τ} f (x, τ) dx) d τ$	(2.71)
We wzorze (2.70) całkowanie względem $τ$ odbywa się po prostej $v_{0}$ a to oznacza, że $v = x - τ = v_{0} = x_{0} - τ_{0} = x_{0}$ , czyli $τ = x_{0} - x$ i $d τ = d x$ . Dla odróżnienia $x$ pochodzącego od zastąpienia $τ$ (na podstawie $d τ = d x$ ) przypiszemy mu apostrof $x'$ i wzór (2.70) zapisemy w postaci
$Fv (u_{0}, v_{0}) = - \frac{1}{2} \int_{x' = x_{0}}^{- \infty} (\int_{x = x_{0}}^{x'} f (x, x' - x_{0}) dx) dx'$	(2.72)
Podobnie we wzorze (2.71) całkowanie odbywa się po prostej $u_{0}$ , co oznacza, że $u = x + τ = u_{0} = x_{0} + τ_{0} = x_{0}$ , czyli $τ = x_{0} - x$ i $d τ = - d x$ i wzór (2.71) ma postać
$Fu (u_{0}, v_{0}) = - \frac{1}{2} \int_{x_{0}}^{\infty} (\int_{x_{0}}^{x'} f (x, x_{0} - x') dx) dx'$	(2.73)
Wzory będą bardziej czytelne, gdy skorzystamy z jeszcze jednej zmiennej pomocniczej $r$ .
$Fv (u_{0}, v_{0}) = \frac{1}{2} \int_{r = 0}^{\infty} (\int_{x_{0}}^{x_{0} - r} f (x, - r) dx) dr$	(2.74)
$Fu (u_{0}, v_{0}) = - \frac{1}{2} \int_{r = 0}^{\infty} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + r} f (x, - r) dx) dr$	(2.75)
Wzory (2.69) , (2.74) i (2.75) są rozwiązaniami ogólnej postaci (2.32) jednokierunkowego, niejednorodnego równania Maxwella.