HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

2.2.2. Problem warunków brzegowych/początkowych Dla równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu przyjęło się zadawać warunki początkowe w postaci
i	(2.16)
i tak mogą być zadawane również dla pewnych równań cząstkowych drugiego rzędu. Pokazaliśmy już, że rozwiązaniem równania (2.3) jest suma dwóch funkcji oraz z warunkami początkowymi dla nich
oraz ,	(2.17)
które są jednocześnie rozwiązaniami. Przy pewnym doświadczeniu w rozwiązywaniu równań postaci (2.3) możliwe jest łatwe określenie warunków początkowych w tej postaci, co pozwala uniknąć rozwiązywania równania i potrzeby określania . Przekształcenie warunków początkowych z postaci (2.16) do postaci (2.17) jest praktycznie rozwiązaniem równania (2.3). Łatwo zauważyć, że przekształcenie odwrotne jest bardzo proste i jednoznaczne. Mamy bowiem
	(2.18)
.	(2.19)
Przekształcenie z (2.16) do (2.17) jest trochę skomplikowane, bo trzeba ustalić co jest falą „do przodu” a co falą „do tyłu”. W tym celu możemy wykorzystać własności
bo	(2.20a)
i bo ,	(2.20b)
które po wstawieniu do (2.19) dają
.	(2.21)
Jeżeli to porównamy z pochodną (2.18-2.20) względem x
	(2.22)
to otrzymamy
	(2.23)
.	(2.24)
Widzimy, że przekształcenie warunków początkowych z (2.16) do (2.17) nie jest jednoznaczne, ponieważ pozostaje nieokreślona stała całkowania C1. Mamy bowiem
	(2.25a)
,	(2.25b)
gdzie C1 i C2 są stałymi całkowania. Wobec (2.18) mamy C1+C2=0 stąd C2= - C1 i ostatecznie
	(2.26)
Wykorzystując to przekształcenie warunków początkowych i pamiętając, że Φ_t (x, τ) = Φ_t (x+(τ - τ₀), τ₀) Ψ_t (x, τ) = Ψ_t (x - (τ - τ₀), τ₀) otrzymujemy inną możliwość znalezienia rozwiązania równania (2.3). Mamy bowiem
	(2.27)
.	(2.28)
Po wstawieniu (2.23) do (2.27) i (2.24) do (2.28) otrzymujemy

	(2.29)

	(2.30)
Ponieważ to sumując (2.29) i (2.30) otrzymujemy wyrażenie
,	(2.31)
które jest znanym rozwiązaniem d'Alemberta przy warunkach początkowych zadanych w postaci (2.16) dla równania (2.3), niesłusznie nazywanym równaniem struny (na przykład w podręczniku [L2]–Marcinkowska, par. 7 str. 94–95, wzór 7.3, metoda d'Alemberta), ponieważ równanie struny wymaga warunków brzegowych w punktach zamocowania, czyli F( x = 0, τ ) = 0 oraz F( x = L, τ ) = 0, gdzie L oznacza długość struny. Bez takiego warunku brzegowego struna nie będzie struną z charakterystyczną częstotliwością. W podręczniku [L3]–Krzyżański odpowiedni akapit jest zatytułowany poprawnie jako „Równanie fali płaskiej. Metoda d'Alemberta”. Przy pomocy funkcji Φ (x + τ) oraz Ψ (x - τ) można łatwo pokazać istotną różnicę między falą płaską i struną oraz zademonstrować proste uzupełnienie rozwiązania dla struny, ponieważ w punktach mocowania x = 0 oraz x = L obowiązują warunki brzegowe F( 0, τ ) = Φ_t ( 0, τ) + Ψ_t ( 0, τ) = 0 F( L, τ ) = Φ_t (L, τ) + Ψ_t (L, τ) = 0 , a to oznacza, że w punkcie x = 0 odwraca się funkcja Φ (), czyli Ψ_t ( 0, τ) = - Φ_t ( 0, τ), a w punkcie x = L odwraca się funkcja Ψ (), czyli Φ_t ( L, τ) = - Ψ_t ( L, τ) . Aby struna znalazła się w tym samym położeniu, obie funkcje muszą dwa razy zmienić znak, co ma miejsce dla τ = 2 L . Na rysunkach (Rys.1a) i (Rys. 1b) przedstawiono oba rozwiązania równania (2.3). Na (Rys.1a) pokazane jest rozwiązanie dla fali płaskiej a na (Rys.1b) dla struny. Dla obu przypadków przyjęto takie same warunki początkowe: wymuszenie kształtu F (x, 0), przytrzymanie tego kształtu czyli δF (x, 0) / δτ = 0. Fala pokazana linią czarną jest wypadkową dwu fal składowych, oznaczonych liniami kolorowymi biegnących w przeciwne strony. Linią czerwoną oznaczona jest fala biegnąca od pozycji początkowej w prawo, a linią niebieską fala biegnąca od pozycji początkowej w lewo. Dla fali płaskiej (Rys.1a) fale znikają z obrazka ponieważ biegną do nieskończoności. Następne fale są efektem powtórzenia wymuszenia. Dla struny (Rys.1b) fale odbijają się z przeciwnym znakiem od punktów zamocowania (granicznych) A i B dlatego zachowują swoje kolory. Rysunki przedstawiają rozwiązanie równania fali (2.3), które nie posiada tłumienia i nie należy oczekiwać zanikania drgań.


Rys.1a FALA PŁASKA


Rys.1b STRUNA