HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

2.2.2. Problem warunków brzegowych/początkowych Dla równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu przyjęło się zadawać warunki początkowe w postaci
$F (x, τ_{0})$ i $\partial F (x, τ_{0}) / \partial τ$ .	(2.16)
i tak mogą być zadawane również dla pewnych równań cząstkowych drugiego rzędu. Pokazaliśmy już, że rozwiązaniem równania (2.3) jest suma dwóch funkcji $ϕ (x + τ)$ oraz $ψ (x - τ)$ z warunkami początkowymi dla nich
$ϕ_{t} (x, τ_{0})$ oraz $ψ_{t} (x, τ_{0})$ ,	(2.17)
które są jednocześnie rozwiązaniami. Przy pewnym doświadczeniu w rozwiązywaniu równań postaci (2.3) możliwe jest łatwe określenie warunków początkowych w tej postaci, co pozwala uniknąć rozwiązywania równania i potrzeby określania $\partial F (x, τ_{0}) / \partial τ$ . Przekształcenie warunków początkowych z postaci (2.16) do postaci (2.17) jest praktycznie rozwiązaniem równania (2.3). Łatwo zauważyć, że przekształcenie odwrotne jest bardzo proste i jednoznaczne. Mamy bowiem
$F (x, τ_{0}) = ϕ_{t} (x, τ_{0}) + ψ_{t} (x, τ_{0})$ ,	(2.18)
$\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ} = \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial τ} + \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial τ}$ .	(2.19)
Przekształcenie z (2.16) do (2.17) jest trochę skomplikowane, bo trzeba ustalić co jest falą „do przodu” a co falą „do tyłu”. W tym celu możemy wykorzystać własności
$\frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial τ} = \frac{\partial ϕ (u)}{\partial u} = \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x}$ bo $\frac{\partial ϕ (u)}{\partial v} = 0$ i	(2.20a)
$\frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial τ} = - \frac{\partial ψ (v)}{\partial v} = - \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x}$ bo $\frac{\partial ψ (u)}{\partial u} = 0$ ,	(2.20b)
które po wstawieniu do (2.19) dają
$\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ} = \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} - \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x}$ .	(2.21)
Jeżeli to porównamy z pochodną (2.18-2.20) względem $x$
$\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial x} = \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} + \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x}$	(2.22)
to otrzymamy
$\frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial x} + \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ})$	(2.23)
$\frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial x} - \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ})$ .	(2.24)
Widzimy, że przekształcenie warunków początkowych z (2.16) do (2.17) nie jest jednoznaczne, ponieważ pozostaje nieokreślona stała całkowania $C 1$ . Mamy bowiem
$ϕ (x, τ_{0}) = \int \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} dx + C 1$	(2.25a)
$ψ (x, τ_{0}) = \int \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} dx + C 2$ ,	(2.25b)
gdzie $C 1$ i $C 2$ są stałymi całkowania. Wobec (2.18) mamy $C 1 + C 2 = 0$ stąd $C 2 = - C 1$ i ostatecznie
$ψ (x, τ_{0}) = \int \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} dx - C 1$	(2.26)
Wykorzystując to przekształcenie warunków początkowych i pamiętając, że $ϕ_{t} (x, τ) = ϕ_{t} (x + (τ - τ_{0}), τ_{0})$ , $ψ_{t} (x, τ) = ψ_{t} (x - (τ - τ_{0}), τ_{0})$ otrzymujemy inną możliwość znalezienia rozwiązania równania (2.3). Mamy bowiem
$ϕ_{t} (x, τ) - ϕ_{t} (x, τ_{0}) = \int_{x}^{x + (τ - τ_{0})} \frac{\partial ϕ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} dx$ ,	(2.27)
$ψ_{t} (x, τ) - ψ_{t} (x, τ_{0}) = - \int_{x - (τ - τ_{0})}^{x} \frac{\partial ψ_{t} (x, τ_{0})}{\partial x} dx$ .	(2.28)
Po wstawieniu (2.23) do (2.27) i (2.24) do (2.28) otrzymujemy
$ϕ_{t} (x, τ) - ϕ_{t} (x, τ_{0}) = \frac{1}{2} \int_{x}^{x + (τ - τ_{0})} (\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial x} + \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ}) dx =$
$= \frac{1}{2} (F (x + (τ - τ_{0}), τ_{0}) - F (x, τ_{0}) + \int_{x}^{x + (τ - τ_{0})} \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ} dx)$ ,	(2.29)
$ψ_{t} (x, τ) - ψ_{t} (x, τ_{0}) = \frac{1}{2} \int_{x - (τ - τ_{0})}^{x} (\frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial x} - \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ}) dx =$
$= \frac{1}{2} (F (x, τ_{0}) - F (x - (τ - τ_{0}), τ_{0}) - \int_{x - (τ - τ_{0})}^{x} \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ} dx)$ .	(2.30)
Ponieważ $F (x, τ) = ϕ_{t} (x, τ) + ψ_{t} (x, τ)$ to sumując (2.29) i (2.30) otrzymujemy wyrażenie
$F (x, τ) = \frac{1}{2} (F (x + (τ - τ_{0}), τ_{0}) + F (x - (τ - τ_{0}), τ_{0}) + \int_{x - (τ - τ_{0})}^{x + (τ - τ_{0})} \frac{\partial F (x, τ_{0})}{\partial τ} dx)$ ,	(2.31)
które jest znanym rozwiązaniem d'Alemberta przy warunkach początkowych zadanych w postaci (2.16) dla równania (2.3), niesłusznie nazywanym równaniem struny (na przykład w podręczniku [L2]–Marcinkowska, par. 7 str. 94–95, wzór 7.3, metoda d'Alemberta), ponieważ równanie struny wymaga warunków brzegowych w punktach zamocowania, czyli $F (x = 0, τ) = 0$ oraz $F (x = L, τ) = 0$ , gdzie $L$ oznacza długość struny. Bez takiego warunku brzegowego struna nie będzie struną z charakterystyczną częstotliwością. W podręczniku [L3]–Krzyżański odpowiedni akapit jest zatytułowany poprawnie jako „Równanie fali płaskiej. Metoda d'Alemberta”. Przy pomocy funkcji $ϕ (x + τ)$ oraz $ψ (x - τ)$ można łatwo pokazać istotną różnicę między falą płaską i struną oraz zademonstrować proste uzupełnienie rozwiązania dla struny, ponieważ w punktach mocowania $x = 0$ oraz $x = L$ obowiązują warunki brzegowe $F (0, τ) = ϕ_{t} (0, τ) + ψ_{t} (0, τ) = 0$ $F (L, τ) = ϕ_{t} (L, τ) + ψ_{t} (L, τ) = 0$ , a to oznacza, że w punkcie $x = 0$ odwraca się funkcja $ϕ ()$ , czyli $ψ_{t} (0, τ) = - ϕ_{t} (0, τ)$ , a w punkcie $x = L$ odwraca się funkcja $ψ ()$ , czyli $ϕ_{t} (x = L, τ) = - ψ_{t} (x = L, τ)$ . Aby struna znalazła się w tym samym położeniu, obie funkcje muszą dwa razy zmienić znak, co ma miejsce dla $τ = 2 L$ . Na rysunkach (Rys.1a) i (Rys. 1b) przedstawiono oba rozwiązania równania (2.3). Na (Rys.1a) pokazane jest rozwiązanie dla fali płaskiej a na (Rys.1b) dla struny. Dla obu przypadków przyjęto takie same warunki początkowe: wymuszenie kształtu $F (x, 0)$ , przytrzymanie tego kształtu czyli $\partial F (x, 0) / \partial τ = 0$ . Fala pokazana linią czarną jest wypadkową dwu fal składowych, oznaczonych liniami kolorowymi biegnących w przeciwne strony. Linią czerwoną oznaczona jest fala biegnąca od pozycji początkowej w prawo, a linią niebieską fala biegnąca od pozycji początkowej w lewo. Dla fali płaskiej (Rys.1a) fale znikają z obrazka ponieważ biegną do nieskończoności. Następne fale są efektem powtórzenia wymuszenia. Dla struny (Rys.1b) fale odbijają się z przeciwnym znakiem od punktów zamocowania (granicznych) A i B dlatego zachowują swoje kolory. Rysunki przedstawiają rozwiązanie równania fali (2.3), które nie posiada tłumienia i nie należy oczekiwać zanikania drgań.


Rys.1a FALA PŁASKA


Rys.1b STRUNA