budynek aiut AIUT sp. z o. o.
★  HenrykDot.com   ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.
ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Kontakt email: henryk.dot(at)aiut.com
"temat" musi zaczynać się od
cyfry reprezentującej aktualny
dzień tygodnia (niedziela=7)




Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka
można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka
jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.


1.3.  Wyprowadzenie zapisu pól E i B
          w postaci wektora zespolonego

     W punkcie (W.3) wprowadzenia zapowiedziane było przedstawione tu wyprowadzenie zapisu pól E i B w postaci wektora zespolonego.

Rozważając równania (1.8) i (1.9) bez źródeł, czyli

   ∇ × E ⃗ = − ∂ B ⃗ ∂ t nabla times vec E =- {{partial vec B} over {partial t}} ,    c 2 ⋅ ∇ × B ⃗ = ∂ E ⃗ ∂ t (1.10)
możemy zróżniczkować obie strony obu równań względem czasu “ t ”
   ∇ × ∂ E ⃗ ∂ t = − ∂ 2 B ⃗ ∂ t 2 ,   c 2 ⋅ ∇ × ∂ B ⃗ ∂ t = ∂ 2 E ⃗ ∂ t 2 (1.11)
i możemy ponownie wykorzystać (1.10) i wstawić do (1.11)
   c 2 ⋅ ∇ × ( ∇ × B ⃗ ) = − ∂ 2 B ⃗ ∂ t 2 ,    − c 2 ⋅ ∇ × ( ∇ × E ⃗ ) = ∂ 2 E ⃗ ∂ t 2
przez co otrzymujemy
   ∇ 2 B ⃗ − ∇ ( ∇ B ⃗ ) = 1 c 2 ⋅ ∂ 2 B ⃗ ∂ t 2 ,    ∇ 2 E ⃗ − ∇ ( ∇ E ⃗ ) = 1 c 2 ⋅ ∂ 2 E ⃗ ∂ t 2 . (1.12)

     Ponieważ zakładaliśmy, że rozważamy równania (1.10) bez źródeł to
∇ ⋅ ( ∇ ⋅ B ⃗ ) = 0 oraz ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ E ⃗ ) = 0 ale pozostawienie tych wyrazów nie zmienia faktu,
że równania (1.12) mają identyczną postać, zmienne B ⃗ oraz E ⃗ są rozdzielone a same równania mają znaną postać równania fali.
      Mimo że w równaniach (1.10) są różne znaki, to w równaniach (1.12) już nie ma różnicy, co nie powinno być zaskoczeniem, bo jak zauważono w poprzedniej książce (Fizyka 2), jednoczesna zmiana znaków w równaniach (1.10) daje ten sam wynik (1.12), bo jest tylko zmianą definicji dodatniego kierunku iloczynu wektorowego i ma to związek z tak zwanym prawoskrętnym lub lewoskrętnym układem odniesienia.
      Interesującym zagadnieniem było – jak z różniących się równań (1.10) powstają takie same postacie równań końcowych a szczególnie w którym momencie następuje to zrównanie?
      Aby znaleźć odpowiedź na tak postawione pytanie równania (1.10) zastąpiono
sumą i różnicą tych równań, mnożąc je odpowiednio przez współczynniki a i b .
   ∇ × ( a ⋅ E ⃗ + b ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ ) = ∂ ∂ t ( b ⋅ E ⃗ − a ⋅ B ⃗ )    - suma (1.13)

   ∇ × ( a ⋅ E ⃗ − b ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ ) = ∂ ∂ t ( b ⋅ E ⃗ + a ⋅ B ⃗ )    - różnica		 (1.14)
Po wprowadzeniu pewnego uporządkowania mającego na celu wyróżnienie
zmiennej E mamy
   ∇ × ( E ⃗ + b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ ) = b a ⋅ ∂ ∂ t ( E ⃗ − a b ⋅ B ⃗ ) , (1.15)

   ∇ × ( E ⃗ − b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ ) = b a ⋅ ∂ ∂ t ( E ⃗ + a b ⋅ B ⃗ ) .		 (1.16)
Powstały nam cztery nowe zmienne
   E ⃗ + b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ ,    E ⃗ − a b ⋅ B ⃗ ,    E ⃗ − b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗   oraz   E ⃗ + a b ⋅ B ⃗ . (1.17)
Ilość tych zmiennych mogłaby być mniejsza gdyby tak dobrać a i b
które są dowolne, aby
   E ⃗ + b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ = E ⃗ − a b ⋅ B ⃗ . (1.18)
To jest możliwe gdy
   b a ⋅ c 2 = − a b (1.19)
co daje
   c 2 = − a 2 b 2   czyli   a b = ± i ⋅ c . (1.20)
Taką samą zależność otrzymamy, gdy zażądamy, aby
   E ⃗ − b a ⋅ c 2 ⋅ B ⃗ = E ⃗ + a b ⋅ B ⃗ . (1.21)
Zatem możemy przyjąć dowolnie

   a b = + i ⋅ c    lub   a b = − i ⋅ c .		 (1.22)
W ten sposób otrzymujemy sugestię, że zamiast czterech zmiennych wymienionych
w (1.17) wystarczająca jest jedna, którą nazwiemy P ⃗

   P ⃗ = a ⋅ ( E ⃗ + i ⋅ c ⋅ B ⃗ ) vec P = a cdot ( vec E + i cdot c cdot vec B)   lub   P ⃗ = a ⋅ ( E ⃗ - i ⋅ c ⋅ B ⃗ ) vec P = a cdot ( vec E + i cdot c cdot vec B) ,		 (1.23)

gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną, ale z uwagi na łatwość przekształcenia
odwrotnego, czyli odzyskiwania wartości B ⃗ oraz E ⃗ korzystne jest, aby to była wartość tylko rzeczywista lub tylko urojona.
     W książce preferowana jest wartość a = 1 c  ponieważ wtedy krótsze są wzory
a nowa zmienna jest wtedy równa
   P ⃗ = E ⃗ c + i ⋅ B ⃗   lub   P ⃗ = E ⃗ c − i ⋅ B ⃗ . (1.24)
Należy zauważyć, że gdy wybieramy P ⃗ = a ⋅ ( E ⃗ + i ⋅ c ⋅ B ⃗ ) vec P = a cdot ( vec E + i cdot c cdot vec B) , to wtedy

   a b = − i ⋅ c ,    b a = i c i obowiązuje zależność

   ∇ × P ⃗ = i c ⋅ ∂ ∂ t P ⃗ , 		(1.25)

gdy wybieramy    P ⃗ = a ⋅ ( E ⃗ − i ⋅ c ⋅ B ⃗ ) vec P = a cdot(vec E - i cdot c cdot vec B) , to wtedy

    a b = + i ⋅ c ,    b a = − i c i obowiązuje zależność

    ∇ × P ⃗ = − i c ⋅ ∂ ∂ t P ⃗ nabla times vec P = -{i over c} cdot{{partial over{partial t}} vec P} .
(1.26)
Jak zaznaczono wcześniej ten wybór jest związany z wyborem lewoskrętnego lub prawoskrętnego układu odniesienia.

  © 2020 Henryk Dot -