HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

Rozdział 2. Rozwiązanie równań Maxwella 2.1. Właściwe rozwiązanie równań Maxwella Sposób rozwiązywania równań (1.44) i (1.45) jest taki sam i można zająć się rozwiązaniami równań w postaci ogólnej
$\nabla^{2} \vec{F} (\vec{r}, τ) - \frac{\partial^{2} \vec{F} (\vec{r}, τ)}{\partial τ^{2}} = \vec{f} (\vec{r}, τ)$ ,	(2.1)
gdzie $\vec{F} (\vec{r}, τ)$ i $\vec{f} (\vec{r}, τ)$ przybierają tylko wartości rzeczywiste. Równanie (2.1) to skrócony zapis sześciu niezależnych równań, na które składają się trzy równania dla wektora $\vec{E}$ , czyli $E_{x}$ , $E_{y}$ , $E_{z}$ oraz trzy równania dla składowych wektora $\vec{B}$ , czyli $B_{x}$ , $B_{y}$ , $B_{z}$ . Należy zauważyć, że w naszym przypadku równania dla $\vec{E}$ i $\vec{B}$ są niezależne od siebie i każde posiada z prawej strony tworzące je źródła. Podobnie jest dla poszczególnych składowych i w dalszych rozważaniach możemy je traktować jak niezależne funkcje skalarne, dla których mamy podobną postać równania falowego.
$\nabla^{2} F_{s} (\vec{r}, τ) - \frac{\partial^{2} F_{s} (\vec{r}, τ)}{\partial τ^{2}} = f_{s} (\vec{r}, τ)$	(2.2)
Indeks „ $s$ ” (od „składnik”) zastępuje indeksy „ $x$ ", „ $y$ ” i „ $z$ ” dla poszczególnych składowych. Należy uważać, aby nie mylić kierunków składowych wektorów $\vec{F}$ oraz $\vec{f}$ z kierunkami składowych wektora położenia $\vec{r}$ . 2.2. Rozwiązanie dla jednego kierunku 2.2.1. Rozwiązanie dla równania jednorodnego Aby poznać „mechanizm” powstawania fali i jej właściwości zaczniemy od równania jednorodnego dla jednego kierunku
$\frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial τ^{2}} = 0$ .	(2.3)
(Dla przejrzystości wzorów możemy dla tego wywodu opuścić rozróżnianie składowych i pisanie indeksu „ $s$ ". W celu rozwiązania (2.3) wprowadzamy zmienne pomocnicze $u$ i $v$ takie, że
$u = x + τ$ , $v = x - τ$ ,	(2.4)
będące odwzorowaniem liniowym wzajemnie jednoznacznym
$x = \frac{u + v}{2}$ , $τ = \frac{u - v}{2}$ .	(2.5)
Praktycznie jest to obrót układu współrzędnych o $π$ /4 ze zmianą skali. Można zaproponować tylko obrót współrzędnych z zachowaniem skali, ale niczego przez to nie zyskujemy, a nawet tracimy, bo będą dłuższe wzory. Zamieniając zmienne, zgodnie z zależnościami (2.4), otrzymujemy te same wartości funkcji, ale ich postacie już różnią się i dla ich rozróżnienia, funkcję po zamianie parametrów $x, τ$ na $u, v$ nazwiemy (od obrotu) $Fo ()$ . Jest słuszne $F (x, τ) = Fo (y, v)$ i możemy stosować zamiennie $\frac{\partial F (x, τ)}{\partial x} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial x}$ , $\frac{\partial F (x, τ)}{\partial τ} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial τ}$ oraz $\frac{\partial F (x, τ)}{\partial u} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u}$ , $\frac{\partial F (x, τ)}{\partial v} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ . Funkcję $F (x, τ)$ w naszym przypadku rozumiemy w ten sposób, że pierwsza zmienna dotyczy położenia, a druga czasu i nie należy sugerować się nazewnictwem zmiennych, bo zapis $F (τ, x)$ oznaczałby wstawienie w miejsce położenia zmiennej czasu, a w miejsce zmiennej czasu wstawienie zmiennej położenia, co w naszym przypadku może występować, bo obie zmienne $x$ i $τ$ mają ten sam wymiar. Podobnie należy rozumieć funkcję $Fo (u, v)$ , gdzie pierwsza zmienna dotyczy położenia według osi $u$ , a druga zmienna dotyczy położenia według osi $v$ . Zapis $Fo (v, u)$ oznaczałby wstawienie w miejsce położenia według osi $u$ zmiennej $v$ , a w miejsce położenia według osi $v$ zmiennej $u$ , co w naszych przekształceniach wzorów również może mieć miejsce. Używając nowych zmiennych otrzymujemy
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial x} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} + \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$	(2.6)
i odpowiednio
$\frac{\partial F (x, τ)}{\partial τ} = \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} - \frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ ,	(2.7)
$\frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial v^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v}$ ,	(2.8)
$\frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial τ^{2}} = \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial v^{2}} - 2 \cdot \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v}$	(2.9)
i ostatecznie
$\frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2} F (x, τ)}{\partial τ^{2}} = 4 \cdot \frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v}$ .	(2.10)
Aby $\frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v} = 0$ , to pochodna względem jednego argumentu nie może już zależeć od drugiego argumentu, a taką sytuację mamy, gdy $Fo ()$ jest sumą dwóch dowolnych funkcji; nazwijmy je $ϕ ()$ oraz $ψ ()$ i każda z nich zależy tylko od jednego z tych dwu argumentów $u$ albo $v$ , czyli
$Fo (u, v) = ϕ (u) + ψ (v) = ϕ (x + τ) + ψ (x - τ)$	(2.11)
W celu eliminacji wrażenia, że próbujemy zgadywać jakieś rozwiązanie szczególne, możemy to wyprowadzić formalnie. Mamy bowiem
$\frac{\partial^{2} Fo (u, v)}{\partial u \partial v} = \frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}) = \frac{\partial}{\partial v} (\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u}) = 0$ .	(2.12)
W zależności od kolejności różniczkowania (całkowania) otrzymujemy $\frac{\partial}{\partial v} (\frac{\partial F (u, v)}{\partial u}) = 0$ oraz $\frac{\partial}{\partial u} (\frac{\partial F (u, v)}{\partial v}) = 0$ co znaczy, że $\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u}$ jest pochodną jakiejś funkcji, nazwijmy ją $ϕ ()$ zależnej tylko od argumentu $u$ , a $\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v}$ pochodną innej funkcji, nazwijmy ją $ψ ()$ zależnej tylko od argumentu $v$ , czyli
$\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial u} = \frac{\partial ϕ (u)}{\partial u}$ oraz	(2.13)
$\frac{\partial Fo (u, v)}{\partial v} = \frac{\partial ψ (v)}{\partial v}$ .	(2.14)
To oznacza, że obie funkcje $ϕ (u)$ oraz $ψ (v)$ , a tym samym ich suma, (2.11) są rozwiązaniami równania (2.3). W tym miejscu można uznać zadanie za rozwiązane, lecz wzór (2.11) mówi tylko, że rozwiązanie istnieje a funkcje $ϕ (u)$ oraz $ψ (v)$ są dowolnymi funkcjami ukształtowanymi w obszarach, gdzie równania nie są jednorodne, to znaczy prawe strony równania (2.1) są różne od zera. Wszystko co można powiedzieć o rozwiązaniach równania jednorodnego (2.3) to tylko to, że są to dwie przemieszczające się w przeciwnych kierunkach fale $ϕ (x + τ)$ oraz $ψ (x - τ)$ i pokazać kilka interesujących właściwości tych funkcji. Używać będziemy również odpowiadających im funkcji dwuargumentowych $ϕ_{t} (x, τ)$ oraz $ψ_{t} (x, τ)$ , którym dla odróżnienia od funkcji jednoargumentowych dodamy index „ $t$ ”. Zachodzą wtedy zależności $ϕ_{t} (x, τ) = ϕ (x + τ)$ oraz $ψ_{t} (x, τ) = ψ (x - τ)$ . Można zauważyć, że wybierając moment czasowy $τ_{0}$ , są słuszne $ϕ_{t} (x, τ) = ϕ ((x + τ_{0}) + (τ - τ_{0})) = ϕ_{t} (x + τ_{0}, τ - τ_{0}))$ oraz $ψ_{t} (x, τ) = ψ ((x - τ_{0}) - (τ - τ_{0})) = ψ_{t} (x - τ_{0}, τ - τ_{0}))$ . To oznacza, że wartości funkcji $ϕ ()$ w położeniu $x$ w czasie $τ$ są takie same jak w czasie wcześniejszym $τ - τ_{0}$ w punkcie dalszym $x + τ_{0}$ , a wartości funkcji $ψ ()$ w położeniu $x$ w czasie $τ$ są takie same jak w czasie wcześniejszym $τ - τ_{0}$ , w punkcie bliższym $x - τ_{0}$ . Widzimy, że funkcja $ψ ()$ jest falą przemieszczającą się w kierunku rosnących wartości $x$ , a funkcja $ϕ ()$ jest falą przemieszczającą się w kierunku malejących wartości $x$ . Możemy zauważyć również inne prawidłowości: $ϕ_{t} (x, τ) = ϕ_{t} (x + τ, 0) = ϕ_{t} (0, τ + x)$ , $ψ_{t} (x, τ) = ψ_{t} (x - τ, 0) = ψ_{t} (0, - (x - τ))$ , $ϕ_{t} (x, 0) = ϕ_{t} (0, x)$ , $ψ_{t} (x, 0) = ψ_{t} (0, -x)$ . Nie ma uzasadnienia prowadzenie głębszej analizy jednorodnego równania falowego postaci (2.3) bez dodatkowych uwarunkowań niż tu przedstawiona, ponieważ jak pokazano, rozwiązania są warunkami początkowymi postaci (2.17) z przesuniętym argumentem. Z formalnych zapisów
$ϕ_{t} (0, 0) = ϕ_{t} (x = -τ, τ)$ , $ψ_{t} (0, 0) = ψ_{t} (x = τ, τ)$	(2.15)
nie wynika, że wartości funkcji w czasie $τ = 0$ zależą od wartości funkcji w czasie $τ > 0$ , odpowiednio w miejscach $x = -τ$ dla funkcji $ϕ ()$ i $x = τ$ dla funkcji $ψ ()$ , co błędnie i bezpodstawnie sugerują niektóre podręczniki a jedynie, że wartości funkcji w tych punktach są takie same jak wartości funkcji w punkcie $(0, 0)$ i dotyczą fal „już biegnących” lub fal, których źródła znajdują się w punkcie $(0, 0)$ . Zapisując poprawnie z lewej strony równości skutek a z prawej przyczynę, należy zależności (2.15) zapisać $ϕ_{t} (x = -τ, τ) = ϕ_{t} (0, 0)$ , $ψ_{t} (x = τ, τ) = ψ_{t} (0, 0)$ i wtedy nie powstają sugestie, że mogą istnieć nieznane do tej pory tzw „advanced” rozwiązania równań Maxwella.