HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Strona główna

Fizyka 3 - Maxwell
Od autora
Spis treści
O czym jest ta książka
Fragmenty historii
Elementy nowe
Całkowicie błędne
Elementy błędne

Fizyka 3 - Rozdzial 1
Równania
Zespolone pole E i B
Dalsze uogólnienie
Rozwiązanie ogólne

Fizyka 3 - Rozdzial 2
Rozwiązania równań
Warunki początkowe
Równanie niejednorodne
Rozw. dla trzech kierunków
Cztery prawa fizyki

Fizyka 3 - Dodatek
Dowód Fermata
Przypuszczenie Beala
Trójki pitagorejskie
Masa inercyjna
Stała grawitacji big G
Gdzie patrzy Księżyc

Fizyka 3 - Zakończenie
Zakończenie

Fizyka 4 - Przejście do Fizyka 4
Otwarcie nowej książki

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

Rozdział 2. Rozwiązanie równań Maxwella 2.1. Właściwe rozwiązanie równań Maxwella Sposób rozwiązywania równań (1.44) i (1.45) jest taki sam i można zająć się rozwiązaniami równań w postaci ogólnej
,	(2.1)
gdzie i przybierają tylko wartości rzeczywiste. Równanie (2.1) to skrócony zapis sześciu niezależnych równań, na które składają się trzy równania dla wektora E⃗ , czyli Ex, Ey, Ez oraz trzy równania dla składowych wektora B⃗ , czyli Bx, By, Bz. Należy zauważyć, że w naszym przypadku równania dla E⃗ i B⃗ są niezależne od siebie i każde posiada z prawej strony tworzące je źródła. Podobnie jest dla poszczególnych składowych i w dalszych rozważaniach możemy je traktować jak niezależne funkcje skalarne, dla których mamy podobną postać równania falowego.
	(2.2)
Indeks „s” (od „składnik”) zastępuje indeksy „x”, „y” i „z” dla poszczególnych składowych. Należy uważać, aby nie mylić kierunków składowych wektorów F⃗ oraz f⃗ z kierunkami składowych wektora położenia r⃗ . 2.2. Rozwiązanie dla jednego kierunku 2.2.1. Rozwiązanie dla równania jednorodnego Aby poznać „mechanizm” powstawania fali i jej właściwości zaczniemy od równania jednorodnego dla jednego kierunku
.	(2.3)
(Dla przejrzystości wzorów możemy dla tego wywodu opuścić rozróżnianie składowych i pisanie indeksu „s”.) W celu rozwiązania (2.3) wprowadzamy zmienne pomocnicze u i v takie, że
u = x + τ , v = x - τ ,	(2.4)
będące odwzorowaniem liniowym wzajemnie jednoznacznym
, .	(2.5)
Praktycznie jest to obrót układu współrzędnych o π/2 ze zmianą skali. Można zaproponować tylko obrót współrzędnych z zachowaniem skali, ale niczego przez to nie zyskujemy, a nawet tracimy, bo będą dłuższe wzory. Zamieniając zmienne, zgodnie z zależnościami (2.4), otrzymujemy te same wartości funkcji, ale ich postacie już różnią się i dla ich rozróżnienia, funkcję po zamianie parametrów x , τ na u ,v , nazwiemy (od obrotu) Fo(). Jest słuszne F(x, τ) = Fo(u, v) i możemy stosować zamiennie , oraz , . Funkcję F(x, τ) w naszym przypadku rozumiemy w ten sposób, że pierwsza zmienna dotyczy położenia, a druga czasu i nie należy sugerować się nazewnictwem zmiennych, bo zapis F(τ, x) oznaczałby wstawienie w miejsce położenia zmiennej czasu, a w miejsce zmiennej czasu wstawienie zmiennej położenia, co w naszym przypadku może występować, bo obie zmienne x i τ mają ten sam wymiar. Podobnie należy rozumieć funkcję Fo(u, v), gdzie pierwsza zmienna dotyczy położenia według osi u, a druga zmienna dotyczy położenia według osi v. Zapis Fo(v, u) oznaczałby wstawienie w miejsce położenia według osi u zmiennej v, a w miejsce położenia według osi v zmiennej u, co w naszych przekształceniach wzorów również może mieć miejsce. Używając nowych zmiennych otrzymujemy
	(2.6)
i odpowiednio
,	(2.7)
,	(2.8)
	(2.9)
i ostatecznie
.	(2.10)
Aby , to pochodna względem jednego argumentu nie może już zależeć od drugiego argumentu, a taką sytuację mamy, gdy Fo() jest sumą dwóch dowolnych funkcji; nazwijmy je Φ() oraz Ψ() i każda z nich zależy tylko od jednego z tych dwu argumentów u albo v, czyli
Fo(u, v) = Φ(u) + Ψ(v) = Φ(x + τ) + Ψ(x - τ)	(2.11)
W celu eliminacji wrażenia, że próbujemy zgadywać jakieś rozwiązanie szczególne, możemy to wyprowadzić formalnie. Mamy bowiem
.	(2.12)
W zależności od kolejności różniczkowania (całkowania) otrzymujemy oraz co znaczy, że jest pochodną jakiejś funkcji, nazwijmy ją Φ() zależnej tylko od argumentu u, a pochodną innej funkcji, nazwijmy ją Ψ() zależnej tylko od argumentu v, czyli
oraz	(2.13)
.	(2.14)
To oznacza, że obie funkcje Φ(u) oraz Ψ(v) , a tym samym ich suma, (2.11) są rozwiązaniami równania (2.3). W tym miejscu można uznać zadanie za rozwiązane, lecz wzór (2.11) mówi tylko, że rozwiązanie istnieje a funkcje Φ(u) oraz Ψ(v) są dowolnymi funkcjami ukształtowanymi w obszarach, gdzie równania nie są jednorodne, to znaczy prawe strony równania (2.1) są różne od zera. Wszystko co można powiedzieć o rozwiązaniach równania jednorodnego (2.3) to tylko to, że są to dwie przemieszczające się w przeciwnych kierunkach fale Φ(x + τ) oraz Ψ(x - τ) i pokazać kilka interesujących właściwości tych funkcji. Używać będziemy również odpowiadających im funkcji dwuargumentowych Φ_t (x, τ) oraz Ψ_t(x, τ), którym dla odróżnienia od funkcji jednoargumentowych dodamy index „ t ”. Zachodzą wtedy zależności Φ_t (x, τ) = Φ (x + τ) oraz Ψ_t (x, τ) = Ψ (x - τ). Można zauważyć, że wybierając moment czasowy τ0 , są słuszne Φ_t (x, τ)= Φ ((x + τ0) + (τ - τ0)= Φ_t ((x + τ0, τ - τ0)) oraz Ψ_t (x, τ)= Ψ ((x - τ0) - (τ - τ0)= Ψ_t ((x - τ0, τ - τ0)). To oznacza, że wartości funkcji Φ() w położeniu x w czasie τ są takie same jak w czasie wcześniejszym τ - τ0 w punkcie dalszym x + τ0, a wartości funkcji Ψ() w położeniu x w czasie τ są takie same jak w czasie wcześniejszym τ - τ0 , ale w punkcie bliższym x - τ0. Widzimy, że funkcja Ψ() jest falą przemieszczającą się w kierunku rosnących wartości x, a funkcja Φ() jest falą przemieszczającą się w kierunku malejących wartości x. Możemy zauważyć również inne prawidłowości: Φ_t (x, τ)= Φ_t (x + τ, 0) = Φ_t (0, τ + x), Ψ_t (x, τ)= Ψ_t (x - τ, 0) = Ψ_t (0, (- (x - τ)), Φ_t (x, 0) = Φ_t (0, x) , Ψ_t (x, 0) = Ψ_t (0, - x ). Nie ma uzasadnienia prowadzenie głębszej analizy jednorodnego równania falowego postaci (2.3) bez dodatkowych uwarunkowań niż tu przedstawiona, ponieważ jak pokazano, rozwiązania są warunkami początkowymi postaci (2.17) z przesuniętym argumentem. Z formalnych zapisów
Φ_t (0, 0) = Φ_t (x = - τ, τ) , Ψ_t (0, 0) = Ψ_t (x = τ, τ )	(2.15)
nie wynika, że wartości funkcji w czasie τ = 0 zależą od wartości funkcji w czasie τ > 0, odpowiednio w miejscach x = -τ dla funkcji Φ () i x = τ dla funkcji Ψ(), co błędnie i bezpodstawnie sugerują niektóre podręczniki a jedynie, że wartości funkcji w tych punktach są takie same jak wartości funkcji w punkcie (0,0) i dotyczą fal „już biegnących” lub fal, których źródła znajdują się w punkcie (0,0). Zapisując poprawnie z lewej strony równości skutek a z prawej przyczynę, należy zależności (2.15) zapisać Φ_t (x = - τ, τ) = Φ_t (0, 0) , Ψ_t (x = τ, τ ) = Ψ_t (0, 0) i wtedy nie powstają sugestie, że mogą istnieć nieznane do tej pory tzw „advanced” rozwiązania równań Maxwella.