3.1.1 Przypuszczenie Andrew Beala

Przedstawiony dowód jest również dowodem dla pewnej klasy Andrew Beal’s conjecture.
Mianowicie dla przypadku gdy wykładnik Nc przy c jest dowolną liczbą naturalna większą od  2  a wykładniki dla a oraz b  mają wspólny nieparzysty dzielnik N  większy od 2 co możemy zapisać jako:

dowód wynika bezpośrednio z równania (3.3), które nie ma rozwiązań dla liczb naturalnych  s = b^Nb + a^Na  oraz  x  różnego od zera.

Widzimy, że zgodnie z przypuszczeniem Beala wszystkie wykładniki przy  a, b oraz  c  mogą być różne gdy a oraz  b mają wspólny nieparzysty dzielnik.

Należy jeszcze wyjaśnić przypadek kiedy  x=(a+b) − c=0
Mamy wtedy dla (3.2) c=s, b=s − a oraz

stąd

Z lewej strony równania mamy tylko jeden czynnik  s w potędze  Nc. Wyrażenie w nawiasach kwadratowych po prawej stronie może być podzielne przez  s
tylko gdy  N jest podzielne przez  s ale już nie może być podzielne przez  s² bo przez  s² nie jest podzielna suma dwóch ostatnich wyrazów w nawiasach kwadratowych czyli:

Brak podzielności sumy ostatnich dwóch wyrazow przez  s² eliminuje celowość zwiększania wykładnika przy  s jako dzielnika  N. To samo dotyczy ewentualnego drugiego dzielnika  N, który musiałby być podzielny przez  s i wtedy byloby zwiększanie wykladnika. Maksymalny wykładnik przy  s jako dzielniku  N mogłby wynosić  N − 1, ale wtedy wyrażenie w nawiasach kwadratowych byłoby ujemne. Ono stawałoby się ujemne już przy mniejszych wartościach wykładnika.
Wzór (3.8) byłby wtedy:

Wnioskujemy zatem, że  Nc=2 oraz N=s.

Należy jeszcze sprawdzic równość  s²= N^N=(N − a)^N+a^N, która jest możliwa tylko dla N=3.
Dla N>3, N² jest zdecydowanie mniejsze od  (N − a)^N+ a^N.

To wyjasnia jednostkowy przypadek:
 1³ + 2³ =3² oraz jego odpowiednik:  3³ + 6³ =3⁵.