HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Fizyka 3 - Powrót
Powrót do Fizyka 3

Fizyka 4 -
Home
Wprowadzenie

Fizyka 4 - Rozdział 1
Ogólne równania ruchu
Ruch orbitalny

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

2. Ruch orbitalny Zagadnieniem, które będzie przydatne w dalszej części, jest ruch orbitalny. Rozważany jest ruch pojedynczego obiektu. W rzeczywistych układach występuje wiele obiektów oraz wzajemne oddziaływanie między nimi. Omówienie pojedynczego obiektu jest wystarczające do przedstawienia istoty zagadnienia. Zapewne wielu dyplomantów zechce rozwijać temat w przedstawiony sposób. Rozpatrywać będziemy ruch, w którym przyspieszenie opisywane jest zależnością
$\frac{d^{2} \vec{r}}{{dt}^{2}} = - \frac{b}{r^{2}} \cdot \frac{\vec{r}}{r}$	(1.18)
gdzie: $\vec{r}$ - wektor położenia r - długość (moduł) wektora położenia, $\frac{b}{r^{2}}$ - funkcja opisująca zależność przyspieszenia od odległości.
W naszych rozważaniach b będzie przyjmować wartości stałe, jak na przykład w przypadku grawitacji b = k_g ⋅M lub atomu b = Z⋅ e² / (4⋅π⋅m_e⋅ ε₀) gdzie: k_g - stała grawitacji, M - masa obiektu centralnego, Z - liczba protonów w jądrze, e - ładunek elektronu. m_e - masa elektronu, ε₀ - przenikalność elektryczna próżni.
Wiele wniosków zachowuje słuszność, gdy b jest funkcją r to znaczy b = b(r). Na początek, dla przejrzystości wywodu, rozważania będziemy prowadzić tak, jakby obiekt centralny był nieruchomy a oddziaływanie natychmiastowe. Nie ma to istotnego wpływu na słuszność wyciąganych na tym etapie wniosków. W niektórych zagadnieniach uwzględnienie ruchu obiektu centralnego oraz opóźnienie oddziaływania będzie bardzo istotne, ale tym zajmiemy się w innej części. Ruch orbitalny korzystnie jest analizować we współrzędnych biegunowych r i α takich, że
x = r ⋅ cos(α) ,	(1.19)
y = r ⋅ sin(α) .	(1.20)
Otrzymujemy wtedy następujące zależności
$\frac{dx}{dt} = - \frac{d α}{dt} \cdot r \cdot \sin (α) + \frac{dr}{dt} \cdot \cos (α)$ ,	(1.21)
$\frac{dy}{dt} = \frac{d α}{dt} \cdot r \cdot \cos (α) + \frac{dr}{dt} \cdot \sin (α)$ ,	(1.22)
$\frac{d^{2} x}{{dt}^{2}} = - \frac{d^{2} α}{{dt}^{2}} \cdot r \cdot \sin (α) - {(\frac{d α}{dt})}^{2} \cdot r \cdot \cos (α) - 2 \cdot \frac{d α}{dt} \cdot \frac{dr}{dt} \cdot \sin (α) + \frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} \cdot \cos (α)$ ,	(1.23)
$\frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} = \frac{d^{2} α}{{dt}^{2}} \cdot r \cdot \cos (α) - {(\frac{d α}{dt})}^{2} \cdot r \cdot \sin (α) + 2 \cdot \frac{d α}{dt} \cdot \frac{dr}{dt} \cdot \cos (α) + \frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} \cdot \sin (α)$ .	(1.24)
Podstawiając odpowiednio (1.23) oraz (1.24) do (1.18) dostajemy
$\frac{d^{2} α}{{dt}^{2}} \cdot r \cdot \sin (α) + {(\frac{d α}{dt})}^{2} \cdot r \cdot \cos (α) + 2 \cdot \frac{d α}{dt} \cdot \frac{dr}{dt} \cdot \sin (α) - \frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} \cdot \cos (α) = \frac{b}{r^{2}} \cdot \cos (α)$ ,	(1.25)
$\frac{d^{2} α}{{dt}^{2}} \cdot r \cdot \cos (α) - {(\frac{d α}{dt})}^{2} \cdot r \cdot \sin (α) + 2 \cdot \frac{d α}{dt} \cdot \frac{dr}{dt} \cdot \cos (α) + \frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} \cdot \sin (α) = - \frac{b}{r^{2}} \cdot \sin (α)$ .	(1.26)
Teraz dokonując odpowiednio mnożeń (1.25) i (1.26) przez cos(α) i sin(α) oraz raz dodając, drugi raz odejmując stronami i zastępując wyrażenie $\frac{d α}{dt}$ nową zmienną $ω = \frac{d α}{dt}$ otrzymujemy bardzo przejrzyste i proste dwa nowe wzory (1.27) i (1.28).
$\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = r \cdot ω^{2} - \frac{b}{r^{2}}$	(1.27)
$r \cdot \frac{d ω}{dt} + 2 \cdot \frac{dr}{dt} \cdot ω = 0$	(1.28)
Wzór (1.27) możemy zapisać też inaczej, wyrażając ω przez $\frac{v_{s}}{r}$ gdzie v_s - prędkość obwodowa lub inaczej styczna do okręgu o promieniu r
$\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = r \cdot {(\frac{v_{s}}{r})}^{2} - \frac{b}{r^{2}}$ .	(1.29)
Należy zauważyć, że we wzorze (1.28) nie występują żadne wielkości poza r i ω i co jest bardzo ważne dla dalszych rozważań, nie występuje w nim wielkość b ! Otrzymaliśmy kompletny zestaw wzorów (1.27) i (1.28), zamiast których często jest pisany wzór tylko dla orbity kołowej
$r \cdot {(\frac{v_{s}}{r})}^{2} = \frac{b}{r^{2}}$	(1.30)
Jest to przypadek wzoru (1.29), dla $\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = 0$ . Wzór (1.30) ma dla nas mimo to też pewną wartość. Po zapisaniu go w postaci
$\frac{v_{s}^{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{r}$	(1.31)
widzimy, wykorzystując interesującą zależność wyliczoną we wzorze (1.17), że przy ruchu orbitalnym, dla orbity kołowej obiekt obiegający posiada energię kinetyczną równą połowie energii potrzebnej do opuszczenia pola. Moment prędkości jest stałą nie tylko ruchu orbitalnego. Jeżeli obiekt porusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością to stały moment prędkości jest zachowany względem dowolnego punktu leżącego poza prostą po której się porusza. Zasada zachowania momentu pędu ma bezpośredni związek z zasadą zachowania momentu prędkości. Wzór (1.28) możemy zapisać
$r \cdot \frac{d ω}{dt} + \frac{dr}{dt} \cdot ω = - \frac{dr}{dt} \cdot ω$	(1.32)
co daje
$\frac{d}{dt} (r \cdot ω) = - \frac{dr}{dt} \cdot ω$	(1.33)
a po zastąpieniu ω przez $\frac{v_{s}}{r}$
$\frac{d}{dt} (r \cdot \frac{v_{s}}{r}) + \frac{dr}{dt} \cdot \frac{v_{s}}{r} = 0$ .	(1.34)
To jest to samo co
$r \cdot \frac{{dv}_{s}}{dt} + \frac{dr}{dt} \cdot v_{s} = 0$	(1.35)
czyli
$\frac{d}{dt} \cdot (r \cdot v_{s}) = 0$	(1.36)
a to pozwala zapisać szukaną regułę, w której nie występuje masa m.
r ⋅ v_s = k = const	(1.37)
*Jeżeli r ⋅ v_s = k = const* to tak samo m ⋅ v_s ⋅ r musi być wartością stałą.** Wzór (1.37) jest równoważny postaci wektorowej w trzech wymiarach.
$\vec{r} \times \vec{v} = \vec{k}$	(1.38)
Zależność (1.37) możemy wykorzystać teraz jako stałą we wzorze (1.29), który przyjmie postać
$\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = \frac{k^{2}}{r^{3}} - \frac{b}{r^{2}} = \frac{b}{r^{3}} \cdot (\frac{k^{2}}{b} - r)$	(1.39)
Jeżeli k i b są stałymi, to wyrażenie $\frac{k^{2}}{b}$ jest też stałe i wyznacza pewien promień, który możemy oznaczyć $r_{k} = \frac{k^{2}}{b}$ i wzór (1.39) zapisać
$\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = \frac{b}{r^{3}} \cdot (r_{k} - r)$	(1.40)
Wzór jest bardzo interesujący i wraz z (1.37) ujmuje inaczej własność znaną jako wektor Laplace'a-Rungego-Lenza (L-R-L).
Spróbujmy znaleźć niektóre właściwości równania (1.40). W tym celu oznaczmy przez v_r składową radialną prędkości
$v_{r} = \frac{dr}{dt}$	(1.41)
Możemy wtedy wykorzystać zależność
$\frac{d^{2} r}{{dt}^{2}} = \frac{{dv}_{r}}{dt} = \frac{{dv}_{r}}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = \frac{{dv}_{r}}{dr} \cdot v_{r}$	(1.42)
i równanie (1.40) zapisać w postaci
$\frac{{dv}_{r}}{dr} \cdot v_{r} = \frac{b}{r^{3}} \cdot (r_{k} - r)$ .	(1.43)
W równaniu tym zmienne dogodnie rozdzieliły się i możemy wykonać całkowanie po obydwu stronach równości otrzymując
$\frac{1}{2} \cdot v_{r}^{2} = \frac{b}{r^{2}} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot r_{k} + r) + \frac{1}{2} \cdot C$	(1.44)
gdzie C jest stałą całkowania. Możemy jeszcze wyeliminować stały współczynnik 0.5 z lewej strony
$v_{r}^{2} = \frac{b}{r^{2}} \cdot (- r_{k} + 2 \cdot r) + C$ .	(1.45)
W celu określenia stałej C wykorzystamy fakt, że dla pewnych położeń skrajnych r prędkość radialna jest równa zeru. Możemy napisać dla tych punktów równanie
$0 = \frac{b}{r^{2}} \cdot (- r_{k} + 2 \cdot r) + C$ ,	(1.46)
które prowadzi do równania kwadratowego
$0 = - b \cdot r_{k} + 2 \cdot b \cdot r + C \cdot r^{2}$ .	(1.47)
Równanie to ma dwa rozwiązania
$r_{\min} = \frac{- 2 \cdot b + \sqrt{4 \cdot b^{2} + 4 \cdot b \cdot r_{k} \cdot C}}{2 \cdot C} = - \frac{b}{C} \cdot (1 - \sqrt{1 + r_{k} \cdot \frac{C}{b}})$	(1.48a)
oraz
$r_{\max} = - \frac{b}{C} \cdot (1 + \sqrt{1 + r_{k} \cdot \frac{C}{b}})$ .	(1.48b)
Pojawił się nowy promień, który oznaczymy
$r_{E} = - \frac{b}{C}$	(1.49)
i (1.48) możemy zapisać w postaci
$r_{\min} = r_{E} \cdot (1 - \sqrt{1 - \frac{r_{k}}{r_{E}}}) = r_{E} - \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}$	(1.50)
oraz $r_{\max} = r_{E} \cdot (1 + \sqrt{1 - \frac{r_{k}}{r_{E}}}) = r_{E} + \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}$ .
Łatwo spostrzegamy, że
$r_{\min} + r_{\max} = 2 \cdot r_{E}$	(1.51)
oraz
$r_{\min} \cdot r_{\max} = (r_{E} - \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}) \cdot (r_{E} + \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}) = r_{E} \cdot r_{k}$ .	(1.52)
Dodatkowo (1.51) jest sumą odległości dowolnego punktu na obwodzie elipsy od obu ognisk elipsy wykorzystywanych do wykreślania elipsy. Teraz zależność (1.45) możemy zapisać następująco
$v_{r}^{2} = \frac{b}{r^{2}} \cdot (- r_{k} + 2 \cdot r) - \frac{b}{r_{E}} = \frac{b}{r_{E}} \cdot \frac{- r^{2} - r_{E} \cdot r_{k} + 2 \cdot r_{E} \cdot r}{r^{2}}$	(1.53)
a po uwzględnieniu (1.51) i (1.52)
$v_{r} = \sqrt{\frac{b}{r_{E}}} \cdot \frac{\sqrt{- (r - r_{\max}) \cdot (r - r_{\min})}}{r}$ .	(1.54)
Do takiego samego wyniku dojdziemy wykorzystując wzory na energię.
$E = m \cdot \frac{v^{2}}{2} - m \cdot \frac{b}{r}$	(1.55)
gdzie: E – energia całkowita, v – prędkość całkowita. Dla ruchu orbitalnego energia całkowita takiego układu jest ujemna. Obliczenia będzie łatwiej prowadzić, gdy energię odniesiemy do jednostki masy i dla odróżnienia oznaczymy indeksem m czyli
$E_{m} = \frac{E}{m} = \frac{v^{2}}{2} - \frac{b}{r}$ .	(1.56)
Zastępując prędkość całkowitą jej składowymi otrzymamy
$2 \cdot E_{m} = v^{2} - \frac{2 \cdot b}{r} = v_{s}^{2} + v_{r}^{2} - \frac{2 \cdot b}{r} = {(\frac{k}{r})}^{2} + v_{r}^{2} - \frac{2 \cdot b}{r}$	(1.57)
co jest odpowiednikiem wzoru (1.45) widocznym po przestawieniu składników
$v_{r}^{2} = 2 \cdot E_{m} - {(\frac{k}{r})}^{2} + \frac{2 \cdot b}{r}$	(1.58)
i jest to ten sam wzór, ponieważ k² = b ⋅ r_k oraz 2 ⋅ E_m = C . To dało sugestię aby promień (1.49) skojarzyć z energią i przypisac mu index E. Przy wyprowadzaniu wzoru na v_r nie korzystano z zależności (1.55), aby unikać korzystania z pojęć praca i energia, których wcześniej nie definiowaliśmy. Wykonywane do nich odwołania są w celu wykazania pełnej zgodności wyprowadzeń. Wprowadzone nowe wielkości jako promienie r_k oraz r_E zdają się lepiej oddawać parametry elipsy niż wykorzystywane pojęcie - mimosród.
Równanie elipsy korzystające z r_E i r_k jako parametrów ma postać
$\frac{y^{2}}{r_{k} \cdot r_{E}} + \frac{{(x - \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})})}^{2}}{r_{E}^{2}} = 1$	(1.59)
a w wersji parametrycznej, łatwej do wykreślania
$y = \sqrt{r_{k} \cdot r_{E}} \cdot \sin (γ)$ ,	(1.60a)
$x = \sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})} + r_{E} \cdot \cos (γ)$ .	(1.60b)
Warto zapamiętać charakterystyczne wielkości:
dłuższa półoś elipsy r_E ,	(1.61)
krótsza półoś $\sqrt{r_{k} \cdot r_{E}}$ ,	(1.61a)
amplituda zmian promienia $\sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}$ .	(1.61b)
Amplituda zmian promienia pdpowiada odległosci ognisk elipsy od srodka elipsy i ma bezposredni związek z uzywanym dotychczas pojęciem - mimośród. Charakterystyczne wielkosci możemy uzupełnić o czas obiegu elipsy czyli w naszym przypadku okres zmian promienia, to znaczy czas przejścia od maksymalnego promienia, poprzez minimalny promień z powrotem do maksymalnego promienia. W tym celu wystarczy policzyć połowę tego okresu , to jest czas przejścia od minimalnego promienia do maksymalnego. Skorzystamy z definicji prędkości radialnej
$\frac{dr}{dt} = v_{r}$ .	(1.62)
Stąd
$dt = \frac{dr}{v_{r}}$ oraz $\frac{T_{r}}{2} = \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} dt = \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{dr}{v_{r}}$ .	(1.63)
Podstawiając za v_r (1.54) otrzymujemy
$\frac{T_{r}}{2} = \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} dt = \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{dr}{v_{r}} = \sqrt{\frac{r_{E}}{b}} \cdot \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{r \cdot dr}{\sqrt{- (r - r_{\max}) \cdot (r - r_{\min})}}$	(1.64)
co po obliczeniu wpierw samej całki
$\int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{r \cdot dr}{\sqrt{- (r - r_{\max}) \cdot (r - r_{\min})}} = 2 \cdot r_{E} \arcsin (1) = π \cdot r_{E}$
daje
$\frac{T_{r}}{2} = π \cdot r_{E} \cdot \sqrt{\frac{r_{E}}{b}}$ .	(1.65)
Ze wzoru (1.65) otrzymujemy trzecie prawo Keplera
$\frac{r_{E}^{3}}{T^{2}} = \frac{b}{4 \cdot π^{2}}$ .	(1.66)
Zaproponowany tu opis ruchu orbitalnego przy użyciu dwóch parametrów r_E i r_k bardzo dobrze charakteryzuje właściwości ruchu orbitalnego. Zachowując stały parametr r_E lub r_k otrzymujemy pokazane na rysunkach dwie rodziny orbit, jedną o stałej energii (Rys.1) i drugą o stałym momencie prędkości (Rys.2). Promień r_E odpowiada energii i jednocześnie wyznacza promień względem którego następują wahania promienia z amplitudą $\sqrt{r_{E} \cdot (r_{E} - r_{k})}$ . Promień r_k wyznacza promień, względem którego następuje zmiana zwrotu działania siły wzdłuż promienia. Dla r > r_k następuje przyciąganie, a dla r < r_k odpychanie. Dla rodziny o stałej energii czyli o stałym r_E , interesujące są dwa skrajne przypadki. Pierwszy, kiedy r_E = r_k i orbita jest kołowa i drugi, kiedy r_k zbliża się do zera a orbita do odcinka linii prostej (na rysunku pokazana w kolorze zielonym). Ten ostatni przypadek praktycznie nie jest możliwy ale interesujący. Dla zobrazowania efektu stałego r_E oraz r_k na obu rysunkach umieszczono początek układu współrzędnych w pierwszym ognisku.
Na Rys.1. pokazana jest rodzina orbit o jednakowej energii - jednakowym r_E . r_k zmienia się od zera do 0.9*r_E co 0.1*r_E .


Rys.1.
Na Rys.2. pokazana jest rodzina orbit o jednakowym momencie prędkości- jednakowym r_k . r_E zmienia się od r_k do 4*r_k co 0.5*r_k .


Rys.2.
Należy zauważyć, że przy zachowaniu stałego momentu prędkości r_k wszystkie orbity przechodza przez dwa punkty na okręgu o promieniu r_k o współrzędnych (x = 0, y = -r_k) oraz (x = 0, y = +r_k).