2. Ruch orbitalny
Zagadnieniem, które będzie przydatne w dalszej części, jest ruch orbitalny. | |
(1.18) | |
gdzie: - wektor położenia - długość (moduł) wektora położenia, - funkcja opisująca zależność przyspieszenia od odległości. | |
W naszych rozważaniach
będzie przyjmować wartości stałe,
jak na przykład w przypadku grawitacji
lub atomu gdzie: - stała grawitacji, - masa obiektu centralnego, - liczba protonów w jądrze, - ładunek elektronu. - masa elektronu, - przenikalność elektryczna próżni. | |
Wiele wniosków zachowuje słuszność,
gdy
jest funkcją to znaczy
. Na początek, dla przejrzystości wywodu, rozważania będziemy prowadzić tak, jakby obiekt centralny był nieruchomy a oddziaływanie natychmiastowe. Nie ma to istotnego wpływu na słuszność wyciąganych na tym etapie wniosków. W niektórych zagadnieniach uwzględnienie ruchu obiektu centralnego oraz opóźnienie oddziaływania będzie bardzo istotne, ale tym zajmiemy się w innej części. Ruch orbitalny korzystnie jest analizować we współrzędnych biegunowych i takich, że | |
, | (1.19) |
. | (1.20) |
Otrzymujemy wtedy następujące zależności | |
, | (1.21) |
, | (1.22) |
, | (1.23) |
. | (1.24) |
Podstawiając odpowiednio (1.23) oraz (1.24) do (1.18) dostajemy | |
, | (1.25) |
. | (1.26) |
Teraz dokonując odpowiednio mnożeń (1.25) i (1.26) przez
i
oraz raz dodając, drugi raz odejmując stronami i zastępując wyrażenie nową zmienną otrzymujemy bardzo przejrzyste i proste dwa nowe wzory (1.27) i (1.28). |
(1.27) | |
(1.28) | |
Wzór (1.27) możemy zapisać też inaczej, wyrażając przez gdzie - prędkość obwodowa lub inaczej styczna do okręgu o promieniu | |
. | (1.29) |
Należy zauważyć, że we wzorze (1.28) nie występują żadne wielkości
poza
i
i co jest bardzo ważne dla dalszych rozważań, nie występuje w nim wielkość
! Otrzymaliśmy kompletny zestaw wzorów (1.27) i (1.28), zamiast których często jest pisany wzór tylko dla orbity kołowej | |
(1.30) | |
Jest to przypadek wzoru (1.29), dla
. Wzór (1.30) ma dla nas mimo to też pewną wartość. Po zapisaniu go w postaci | |
(1.31) | |
widzimy, wykorzystując interesującą zależność wyliczoną we wzorze (1.17),
że przy ruchu orbitalnym, dla orbity kołowej obiekt obiegający posiada energię kinetyczną równą połowie energii potrzebnej do opuszczenia pola. Moment prędkości jest stałą nie tylko ruchu orbitalnego. Jeżeli obiekt porusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością to stały moment prędkości jest zachowany względem dowolnego punktu leżącego poza prostą po której się porusza. Zasada zachowania momentu pędu ma bezpośredni związek z zasadą zachowania momentu prędkości. Wzór (1.28) możemy zapisać | |
(1.32) | |
co daje | |
(1.33) | |
a po zastąpieniu przez | |
. | (1.34) |
To jest to samo co | |
(1.35) | |
czyli | |
(1.36) | |
a to pozwala zapisać szukaną regułę, w której nie występuje masa . | |
(1.37) | |
Jeżeli
to tak samo
musi być wartością stałą. Wzór (1.37) jest równoważny postaci wektorowej w trzech wymiarach. | |
(1.38) | |
Zależność (1.37) możemy wykorzystać teraz jako stałą we wzorze (1.29), który przyjmie postać | |
(1.39) | |
Jeżeli
i
są stałymi, to wyrażenie
jest też stałe i wyznacza pewien promień, który możemy oznaczyć i wzór (1.39) zapisać | |
(1.40) | |
Wzór jest bardzo interesujący i wraz z (1.37) ujmuje inaczej własność znaną jako wektor Laplace'a-Rungego-Lenza (L-R-L). | |
Spróbujmy znaleźć niektóre właściwości równania (1.40). W tym celu oznaczmy przez składową radialną prędkości | |
(1.41) | |
Możemy wtedy wykorzystać zależność | |
(1.42) | |
i równanie (1.40) zapisać w postaci | |
. | (1.43) |
W równaniu tym zmienne dogodnie rozdzieliły się i możemy wykonać całkowanie po obydwu stronach równości otrzymując | |
(1.44) | |
gdzie
jest stałą całkowania. Możemy jeszcze wyeliminować stały współczynnik 0.5 z lewej strony | |
. | (1.45) |
W celu określenia stałej wykorzystamy fakt, że dla pewnych położeń skrajnych prędkość radialna jest równa zeru. Możemy napisać dla tych punktów równanie | |
, | (1.46) |
które prowadzi do równania kwadratowego | |
. | (1.47) |
Równanie to ma dwa rozwiązania | |
(1.48a) | |
oraz | |
. | (1.48b) |
Pojawił się nowy promień, który oznaczymy | |
(1.49) | |
i wzór (1.48) możemy zapisać w postaci | |
(1.50) | |
oraz . |
|
Łatwo spostrzegamy, że | |
(1.51) | |
oraz | |
. | (1.52) |
Dodatkowo (1.51) jest sumą odległości dowolnego punktu na obwodzie elipsy od obu ognisk elipsy wykorzystywanych do wykreślania elipsy. Teraz zależność (1.45) możemy zapisać następująco | |
(1.53) | |
a po uwzględnieniu (1.51) i (1.52) | |
. | (1.54) |
Do takiego samego wyniku dojdziemy wykorzystując wzory na energię. | |
(1.55) | |
gdzie: – energia całkowita, – prędkość całkowita. Dla ruchu orbitalnego energia całkowita takiego układu jest ujemna. Obliczenia będzie łatwiej prowadzić, gdy energię odniesiemy do jednostki masy i dla odróżnienia oznaczymy indeksem czyli | |
. | (1.56) |
Zastępując prędkość całkowitą jej składowymi otrzymamy | |
(1.57) | |
co jest odpowiednikiem wzoru (1.45) widocznym po przestawieniu składników | |
(1.58) | |
i jest to ten sam wzór, ponieważ
oraz
. To dało sugestię aby promień (1.49) skojarzyć z energią i przypisac mu index . Przy wyprowadzaniu wzoru na nie korzystano z zależności (1.55), aby unikać korzystania z pojęć praca i energia, których wcześniej nie definiowaliśmy. Wykonywane do nich odwołania są w celu wykazania pełnej zgodności wyprowadzeń. Wprowadzone nowe wielkości jako promienie oraz zdają się lepiej oddawać parametry elipsy niż wykorzystywane pojęcie - mimosród. | |
Równanie elipsy korzystające z i jako parametrów ma postać | |
(1.59) | |
a w wersji parametrycznej, łatwej do wykreślania | |
, | (1.60a) |
. | (1.60b) |
Warto zapamiętać charakterystyczne wielkości: | |
dłuższa półoś elipsy , | (1.61) |
krótsza półoś , | (1.61a) |
amplituda zmian promienia . | (1.61b) |
Amplituda zmian promienia pdpowiada odległosci ognisk elipsy od srodka elipsy i ma bezposredni związek z uzywanym dotychczas pojęciem - mimośród. Charakterystyczne wielkosci możemy uzupełnić o czas obiegu elipsy czyli w naszym przypadku okres zmian promienia, to znaczy czas przejścia od maksymalnego promienia, poprzez minimalny promień z powrotem do maksymalnego promienia. W tym celu wystarczy policzyć połowę tego okresu , to jest czas przejścia od minimalnego promienia do maksymalnego. Skorzystamy z definicji prędkości radialnej | |
. | (1.62) |
Stąd | |
oraz . | (1.63) |
Podstawiając za (1.54) otrzymujemy | |
(1.64) | |
co po obliczeniu wpierw samej całki | |
daje | |
. | (1.65) |
Ze wzoru (1.65) otrzymujemy trzecie prawo Keplera | |
. | (1.66) |
Zaproponowany tu opis ruchu orbitalnego przy użyciu dwóch parametrów i bardzo dobrze charakteryzuje właściwości ruchu orbitalnego. Zachowując stały parametr lub otrzymujemy pokazane na rysunkach dwie rodziny orbit, jedną o stałej energii (Rys.1) i drugą o stałym momencie prędkości (Rys.2). Promień odpowiada energii i jednocześnie wyznacza promień względem którego następują wahania promienia z amplitudą . Promień wyznacza promień, względem którego następuje zmiana zwrotu działania siły wzdłuż promienia. Dla następuje przyciąganie, a dla odpychanie. Dla rodziny o stałej energii czyli o stałym , interesujące są dwa skrajne przypadki. Pierwszy, kiedy i orbita jest kołowa i drugi, kiedy zbliża się do zera a orbita do odcinka linii prostej (na rysunku pokazana w kolorze zielonym). Ten ostatni przypadek praktycznie nie jest możliwy ale interesujący. Dla zobrazowania efektu stałego oraz na obu rysunkach umieszczono początek układu współrzędnych w pierwszym ognisku. | |
Na Rys.1. pokazana jest rodzina orbit o jednakowej energii - jednakowym
. zmienia się od zera do 0.9* co . |
| |
Rys.1. | |
Na Rys.2. pokazana jest rodzina orbit o stałym momencie prędkości - jednakowym . zmienia się od do co . |
| |
Rys.2. | |
Należy zauważyć, że przy zachowaniu stałego momentu prędkości
wszystkie orbity przechodza przez dwa punkty na okręgu o promieniu o współrzędnych oraz . |