HenrykDot

★ HenrykDot.com ★
jest stroną towarzyszącą serii książek wydawanych przez AIUT pod wspólnym glównym tytułem
"Fizyka Mojej Urojonej Czasoprzestrzeni", których autorem jest Henryk Dot.

ENGLISH

Fizyka 3 - Powrót
Powrót do Fizyka 3

Fizyka 4 -
Home
Wprowadzenie

Fizyka 4 - Rozdział 1
Ogólne równania ruchu
Ruch orbitalny

Książki wydawane przez AIUT znajdują się
w bibliotekach zgodnie z listą egzemplarzy obowiązkowych.

Drugie wydanie "Fizyka 3"
ISBN 978-83-926856-1-6
Fizyka

można kupić w Warszawie
w Księgarni Akademickiej
Oficyny Wydawniczej PW
ul.Noakowskiego 18/20

oraz w Katowicach
w księgarni "Liber"
ul. Bankowa 11.
(teren Uniwersytetu Ślaskiego)

Wydanie angielskie "Physics"
ISBN 978-83-926856-2-3
Fizyka

jest również w bibliotekach
a o sposób dystrybucji należy pytać wydawca@aiut.com.

Rozdział 1. Podstawowe pojęcia opisujące ruch 1. Ogólne równania ruchu Przez t będziemy na ogół oznaczać zmienną czasu, przez $\vec{r}$ wektor położenia a przez $\hat{r}$ wektor jednostkowy. Na samym początku zdefiniujemy dwie wielkości:
prędkość $\vec{v} ≝ \frac{d \vec{r}}{dt}$	(1.1)
oraz
przyspieszenie $\vec{a} ≝ \frac{d \vec{v}}{dt}$ .	(1.2)
Wzór (1.2) możemy zapisać inaczej
$d \vec{v} = \vec{a} \cdot d t$ - wektor	(1.3)
co po pomnozeniu stronami z (1.1) daje
$\vec{v} \cdot d \vec{v} = \vec{a} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}$ - skalar .	(1.4)
Wzór (1.4) możemy scałkować niezależnie stronami – prawą stronę po trajektorii od położenia początkowego $\vec{r_{p}}$ do położenia końcowego $\vec{r_{k}}$ a lewą stronę od prędkości początkowej $\vec{v_{p}}$ do prędkości końcowej $\vec{r_{k}}$ w wyniku czego otrzymamy
$\frac{v_{k}^{2}}{2} - \frac{v_{p}^{2}}{2} = \int_{\vec{r_{p}}}^{\vec{r_{k}}} \vec{a} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}$ .	(1.5)
Wzór (1.5) ma charakter ogólny i oznacza, że dowolny obiekt (na przykład masa) posiadający prędkość początkową $v_{p}$ , poddawany na drodze $\vec{r_{k}} - \vec{r_{p}}$ przyspieszeniu $\vec{a} (\vec{r})$ będzie posiadał na końcu prędkość $v_{k}$ . Obie strony tego równania możemy pomnożyć przez dowolną wielkość. Jeżeli tą wielkością będzie akurat masa m i oznaczymy przez $\vec{F} (\vec{r})$ iloczyn $m \cdot \vec{a} (\vec{r})$ czyli $\vec{F} (\vec{r}) = m \cdot \vec{a} (\vec{r})$ , to otrzymamy
$\frac{m \cdot v_{k}^{2}}{2} - \frac{m \cdot v_{p}^{2}}{2} = \int_{\vec{r_{p}}}^{\vec{r_{k}}} m \cdot \vec{a} (\vec{r}) \cdot d \vec{r} = \int_{\vec{r_{p}}}^{\vec{r_{k}}} \vec{F} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}$ .	(1.6)
Jest to znana zależność między energią kinetyczną a wykonaną pracą. UWAGA: na tym etapie II zasadę Newtona wykorzystujemy jako czysto matematyczne oznaczenia iloczynu $m \cdot \vec{a} (\vec{r})$ przez $\vec{F}$ . Podobnie, jeśli równość (1.3) scałkujemy odpowiednio względem $d \vec{v}$ i dt to otrzymamy
$\vec{v_{k}} - \vec{v_{p}} = \int_{t_{p}}^{t_{k}} \vec{a} (t) \cdot d t$	(1.7)
a podobnie jak poprzednio, zależność (1.7) dotyczy dowolnego obiektu i jeżeli tym obiektem będzie masa m , to po pomnożeniu obu stron (1.7) przez przez m, otrzymujemy zależność między pędem i popędem
$m \cdot \vec{v_{k}} - m \cdot \vec{v_{p}} = \int_{t_{p}}^{t_{k}} m \cdot \vec{a} (t) \cdot d t = \int_{t_{p}}^{t_{k}} \vec{F} (t) \cdot d t$ .	(1.8)
Obie zależności (1.6) i (1.8) otrzymaliśmy bezpośrednio z definicji prędkości i przyspieszenia (1.1) i (1.2) oraz zależności między siłą, masą i przyspieszeniem, nie wprowadzając wstępnie (nie definiując) takich pojęć jak praca, energia i pęd, a nazywając nimi wyrażenia, które pojawiły się we wzorach. Spróbujemy podobnie wyprowadzić inne znane zależności (prawa) nie posługując się pojęciami pracy i energii. Po co to robimy? Ponieważ większość podręczników zaczyna tłumaczyć zagadnienia mechaniki od wprowadzania pojęć pracy, energii i praw rządzącymi tymi pojęciami, podczas gdy te pojęcia i prawa są bezpośrednią konsekwencją definicji (1.1) i (1.2). Dla otrzymania prawa zachowania energii należy wzór (1.5) napisać dla każdego obiektu (masy) m oznaczanej indeksem i a następnie zsumować odpowiednio stronami
$\sum_{i} (\frac{m_{i} \cdot v_{ki}^{2}}{2} - \frac{m_{i} \cdot v_{pi}^{2}}{2}) = \sum_{i} \int_{\vec{r_{pi}}}^{\vec{r_{ki}}} m_{i} \cdot \vec{a_{i}} (\vec{r_{i}}) \cdot d \vec{r_{i}} = \sum_{i} \int_{\vec{r_{pi}}}^{\vec{r_{ki}}} \vec{F_{i}} (\vec{r_{i}}) \cdot d \vec{r_{i}}$ .	(1.9)
Innymi słowy, abstrahując od pojęcia masy, m_i możemy traktować jako współczynniki kombinacji liniowej równań składających się na (1.9). Jeżeli po prawej stronie oddziaływanie między wszystkimi parami będzie zrównoważone to znaczy
$\sum_{i} m_{i} \cdot \int_{\vec{r_{pi}}}^{\vec{r_{ki}}} \vec{a_{i}} (\vec{r_{i}}) \cdot d \vec{r_{i}} = \sum_{i} \int_{\vec{r_{pi}}}^{\vec{r_{ki}}} \vec{F_{i}} (\vec{r_{i}}) \cdot d \vec{r_{i}} = 0$ ,	(1.10)
to równanie (1.9) możemy zapisać
$\sum_{i} (\frac{m_{i} \cdot v_{ki}^{2}}{2} - \frac{m_{i} \cdot v_{pi}^{2}}{2}) = 0$ .	(1.11)
To jest to samo co
$\sum_{i} \frac{m_{i} \cdot v_{ki}^{2}}{2} = \sum_{i} \frac{m_{i} \cdot v_{pi}^{2}}{2}$	(1.12)
i oznacza, że suma energii kinetycznych wyizolowanej grupy obiektów jest wartością stałą. Dla otrzymania prawa zachowania pędu należy równanie (1.8) napisać dla każdego obiektu i podobnie jak poprzednio zsumować stronami
$\sum_{i} (m_{i} \cdot \vec{v_{ki}} - m_{i} \cdot \vec{v_{pi}}) = \sum_{i} \int_{t_{p}}^{t_{k}} m_{i} \cdot \vec{a_{i}} (t) \cdot d t = \sum_{i} \int_{t_{p}}^{t_{k}} \vec{F_{i}} (t) \cdot d t$ .	(1.13)
Jeżeli teraz po prawej stronie suma sił będzie równa zero to znaczy
$\sum_{i} \int_{t_{p}}^{t_{k}} m_{i} \cdot \vec{a_{i}} (t) \cdot d t = \sum_{i} \int_{t_{p}}^{t_{k}} \vec{F_{i}} (t) \cdot d t = \int_{t_{p}}^{t_{k}} (\sum_{i} \vec{F_{i}} (t)) \cdot d t = 0$	(1.14)
wówczas
$\sum_{i} (m_{i} \cdot \vec{v_{ki}} - m_{i} \cdot \vec{v_{pi}}) = 0$	(1.15)
i ostatecznie
$\sum_{i} m_{i} \cdot \vec{v_{ki}} = \sum_{i} m_{i} \cdot \vec{v_{pi}}$ ,	(1.16)
czyli pęd całości pozostaje stały. Zwróćmy jeszcze uwagę na interesującą zależność, gdy we wzorze (1.5) przyspieszenie byłoby funkcją położenia według reguły $\vec{a} (\vec{r}) = - \frac{b}{r^{2}} \cdot \hat{r}$ , gdzie b – stały parametr a ruch odbywał się od prędkości początkowej v_p = 0 i położenia początkowego r_p = ∞ do prędkości końcowej v_k i położenia końcowego r_k wtedy
$\frac{v_{k}^{2}}{2} = - \int_{\infty}^{\vec{r_{k}}} \frac{b}{r^{2}} d \vec{r} = \frac{b}{r_{k}}$ .	(1.17)
Jest to prędkość, jaką posiadałby w odległości r (licząc od środka), przybliżający się z nieskończoności obiekt do punktu centralnego bez uwzględniania efektów relatywistycznych. Jest to również, po pomnożeniu przez masę m, energia kinetyczna potrzebna do opuszczenia pola potencjalnego o podanej zależności.